Función
logarítmica
Dados un numero a>0, a ≠1, y un numero x>0, se define el logaritmo en base a de x, como el único numero y R, que verifica la igualdad ay=x. El logaritmo en base a de x se representa por el símbolo loga x. Por definición, para todo x > 0 es alogax=x
El dominio de la función loga es R+, y su imagen es R. La función es estrictamente creciente si a >1 y estrictamente decreciente si a <1. La propiedad básica de los logaritmos es que convierten productos en sumas:
Loga (xy) = loga x + loga y (x >0, y >0)
Derivada de la función logarítmica
La derivada de un logaritmo en base a, es igual a la derivada de la función dividida por la función y por el logaritmo a de b
Función exponencial
La función inversa de la función
loga es la función exponencial de base a, que se representa por expa.
Por tanto, para cada x є R, expa(x) es
por definición, el único número positivo cuyo logaritmo en base a es igual a x:
loga(expa(x)) = x.
Es fácil comprobar si r є Q entonces expa(r)
= ar , por lo que se usa la notación expa(x)=ax.
El dominio de la función expa
es R, y su imagen es R+. La función es estrictamente creciente si a >1
y estrictamente decreciente si a <1. La propiedad
básicade expa es que convierten sumas en productos:
expa(x
+y)=expa(x)expa(y) (x,y
єR)
Dos funciones exponenciales
cualesquiera, expa y expb, están relacionadas por la
igualdad:
expb(x)=expa(x
loga b) (x єR)
La función exponencial de base e,
inversa de la función logaritmo natural, se notará simplemente por exp. Por
tanto exp(x) =ex. Con ello tenemos que:
Derivada
de la función exponencial
La derivada de una función exponencial es igual a
la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del
exponente.
Derivada
de la función exponencial base e
La derivada de la función exponencial de base e,
es igual a la misma función por la derivada del exponente.
Ejemplos:
Funciones
El
concepto más específico de la trigonometría es el de la medida de un ángulo. Para medir un ángulo llevamos su vértice al
origen y medimos la longitud del arco de la circunferencia unidad que dicho
ángulo intercepta, obtenemos así un número que llamamos la medida (absoluta, es
decir no orientada) del ángulo en cuestión. Naturalmente, lo primero que hay
que hacer para medir cualquier cosa es elegir una unidad de medida. Pues bien,
para medir ángulos suelen usarse dos unidades de medida.
Funciones seno y coseno
Hay dos funciones que suelen confundirse : el seno de un ángulo y el seno de un número
Antes que nada hay que decir que
tanto el seno de un ángulo como el seno de un número son números, pero
mientras que el seno de un ángulo tiene una sencilla definición geométrica, no
es evidente, a priori, cómo se puede definir el seno de un número.
La idea consiste en asociar a
cada número un (único) ángulo y definir el seno del número como el seno del
ángulo que le corresponde. Es evidente que a cada número x > 0 le podemos
asignar de manera única un ángulo “enrollando” el segmento [0,
x] sobre la circunferencia unidad, en sentido contrario a las agujas del reloj, de forma que el origen
de dicho segmento coincida con el punto U = (1,0)de
la circunferencia. Obtenemos así un punto Px de la circunferencia unidad.
Propiedades de
las funciones seno y coseno
Las funciones seno y coseno son
funciones reales cuyo dominio es todo R. Las identidades básicas que dichas
funciones verifican son:
sen2 x + cos2 x = 1 (x є R)
Como se ha dicho antes, las
funciones seno y coseno son periódicas de período 2π :
Sen(x + 2π )= senx ,cos(x + 2 π )=cos x
(x є R)
La función seno es impar y la
función coseno es par:
Sen(-x) =-sen x , cos(-x) =cos x (x єR)
Fórmulas
de adición:
Sen(x +y)=sen x cos y +cos
x sen y
cos(x + y) = cos x cos y +sen
x sen y
Las
funciones tangentes, cotangente, secante y cosecante
Las funciones tangentes
y secante, que se representan por tg y sec son las funciones
definidas en el conjunto R \ {k π + π/2:k є
Z} ={x єR :cos x ≠0}, por:
tg x = sen x , sec x =
1
cos x cos x
Las funciones cotangente
y cosecante, que se representan por cotg y csc son las funciones definidas
en el conjunto R \ {k π :k єZ} = {x єR :sen x ≠0}, por:
cotg x = cos x , csc x = 1
sen x senx
Las propiedades de
estas funciones se deducen fácilmente de las propiedades del seno y del coseno.
Por ejemplo, tg(x) = tg(x+π); esto es, la función tangente es periódica de período.
Las
funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente
Lo primero que hay
que decir es que ninguna de las funciones “seno”, “coseno”, “tangente”, es inyectiva
pues todas ellas son periódicas y, por tanto, toman cada uno de sus valores en
infinitos puntos; en consecuencia, ninguna de ellas tiene inversa. Por tanto,
no debe decirse que las funciones arcoseno, arcocoseno, arcotangentesean
las funciones inversas del seno, del coseno o de la tangente: eso no es cierto.
La función
arcoseno es la inversa de la función seno restringida al intervalo [-π/2,π/2],
esto es, cuando consideramos que la función seno está solamente definida en el
intervalo [-π/2,π/2]
La función arcocoseno es la inversa de la función
coseno restringida al intervalo [0,π], esto es, cuando consideramos
que la función coseno está solamente definida en el intervalo[0,π].
la función arcotangente
es la inversa de la función tangente restringida al intervalo [-π/2,π/2], esto es, cuando consideramos que
la función tangente está solamente definida en el intervalo
[-π/2,π/2,]
Ejercicios propuestos:
Derivadas de las funciones
trigonométricas
Si u es
una función diferenciable de x, entonces;
-
Ejemplos:
f(x) = Sen 5x + Cos 2x
f ´(x) = Cos 5x.
5 + (- Sen 2x) 2
f ´(x) = 5 Cos
5x - 2 Sen 2x)
